Korábban már többször írtunk arról, hogyan lehet trükközni a grafikonokkal, számokkal, és milyen módokon lehet még félrevezetni az embereket a statisztika rafinált felhasználásával. Most egy olyan témáról lesz szó, ami első pillantásra kicsit technikaibbnak tűnhet, de valójában az újsághírekben is gyakran előkerül...

2010-es kampányplakátok. Miért nehéz megmondani, ki jut be a parlamentbe?
(Forrás: Wikimedia Commons / Czank Máté)

Beismeri a hibáját?

Mindenféle mérésnek van hibája is. Ez természetes, nem kell tőle megijedni! Nem arról van szó, mint amit a hétköznapi életben értünk hiba alatt, tehát hogy valamit elrontottunk. Ha egy tudós mérési hibáról beszél, az nem feltétlenül azt jelenti, hogy a mérés úgy rossz, ahogy van, és lehet az elejéről kezdeni az egészet. De akkor mit jelent?

A kutatók többféle hibát különböztetnek meg. A két legnagyobb csoport a rendszeres és a véletlen hibák csoportja. Ha fogunk egy szobamérleget és ráteszünk egy ötkilós követ, akkor bárki áll rá, a mérleg következetesen öt kilóval nagyobbnak fogja mutatni a testtömegét – az ilyen és hasonló, minden mérést egy irányba torzító tényezők okozta hibákat hívják rendszeres hibának. (A hétköznapi nyelvben valami ilyesmit szokás a 'mérési hiba' megfogalmazás mögé odaképzelni.) De ha a rendszeres hibáktól többé-kevésbé megszabadultunk, még mindig ott a véletlen hiba: ez sok kis különböző, összevissza ható tényező eredménye, és nem lehet teljesen kiküszöbölni.

Az oldal az ajánló után folytatódik...

Ha valamit többször egymás után lemérünk, nem pontosan ugyanazt az eredményt kapjuk – ha nem hisszük, próbáljunk meg ötször egymás után ráállni a szobamérlegre! Lehet, hogy egyszer hatvan kilót mutat, majd ötvenkilencet, majd megint hatvanat, és így tovább. Ez az ingadozás, a véletlen hiba független attól, hogy észrevettük-e és levettük-e a mérlegről az előző használó által gondosan odakészített ötkilós követ... A véletlen hiba teljesen természetes dolog, és a statisztikusok tudnak vele bánni. Lássuk, hogyan! (A következőkben, ha csak külön nem említjük, mindig a véletlen hibáról lesz szó.)

Súly ékírásos felirattal. Már az ókorban is...
(Forrás: Wikimedia Commons / Rama / CC BY-SA 2.0)

Illeg-billeg

A hiba azt mutatja, mekkora a bizonytalanság a kapott eredményekben. Ha például rendre 60; 64; 56; 60; 61 kilóra adódott a testtömegünk, akkor a hiba nagyobb, mint ha mondjuk a 60; 61; 60; 59; 61 kilókat kapnánk: az értékek jobban eltérnek egymástól. (A két sorozat átlaga megegyezik.)

A gyakorlatban a közvéleménykutatások néhány százas vagy ezres mintával dolgoznak. Néhány újabb példa különböző sajtótermékekből: 500 osztrákot kérdeztek meg arról, hogyan viszonyulnak az EU-integrációhoz; 1581 republikánust kérdeztek arról, támogatnák-e Herman Cain elnökjelöltségét (ez még azelőtt volt, hogy visszalépett volna); 1000 magyart pedig arról faggattak, együttműködik-e az MSZP és a Demokratikus Koalíció.

Minél többet mérünk, annál kisebb a véletlen hiba – a számos apró, más-más irányba mutató különbség kiegyenlíti egymást. Arról már korábban írtunk, hogy a nagy mintaelemszám önmagában nem jelent semmit, és sokkal fontosabb a reprezentativitás. Emlékeztetőül: hiába töltetünk ki egy szekérderéknyi kérdőívet a barátainkkal, az nem biztos, hogy bármit is mond a magyar lakosságról. De ha a mintánk a lehetőségekhez képest reprezentatív, akkor igenis számít az elemszám. Lehet egy tíz fős minta is reprezentatív, meg egy tízezres is, de az utóbbinak kisebb lesz a hibája.

Sávom, sávom, mondd meg nékem

A hibahatár mutatja meg, mekkora eltérés lehet a valódi és a mért érték között. A mindennapokban ez az, ami igazán fontos, hiszen az, hogy „az átlag standard hibája 3,562”, legfeljebb egy szakmabelinek mond valamit. A hibahatár viszont előtanulmányok nélkül értelmezhető: azt mondja ki, hogy a legvalószínűbben milyen sávon belül esnek az eredmények (ez a hibasáv). Hogy megfoghatóbb legyen ez az absztrakt fogalom, lássunk egy szemléletes kitalált példát!

A Bergengóc Népi-Nemzeti Közvéleménykutató Intézet mérése azt mutatja, hogy a bergengócnyelv-tanárok 48%-a szerint igen elavult a bergengóc nyelv helyesírási szabályzata. (Nincsenek vele egyedül.) A hibahatár plusz-mínusz 4%, tehát ez azt jelenti, hogy a valóságban a tanárok 44-52%-a vélekedik így. Lehet, hogy csak 45%-uk, de az is lehet, hogy 52%-uk. Az viszont a mérés fényében nagyon valószínűtlen és nyugodtan elvethető, hogy a tanárok 20%-a vagy 75%-a képviseli ezt az álláspontot.

Helyesírás-oktatás Angliában, 1912
(Forrás: Wikimedia Commons)

Mindig fennáll annak az esélye, hogy a hibahatáron kívül esik a valódi érték. Például ha Magyarországon tíz olyan ember van, aki harminc nyelvet beszél, és tíz fős reprezentatív mintával vizsgáljuk a magyarok nyelvtudását, akkor nagyon pici eséllyel ugyan, de lehet, hogy pont ezt a tíz embert választjuk ki véletlenszerűen... és aztán megállapítjuk, hogy az átlag magyar harminc nyelven beszél. A hibasáv lényege épp az, hogy nagy valószínűséggel belekerül a valódi érték, de a nagy valószínűség nem jelent teljes bizonyosságot.

Pirx pilóta kalandjai

Sok újság megírja a közvéleménykutatások hibahatárát – a fenti oldaldoboz osztrák, amerikai és magyar példái mind tartalmazzák ezt az adatot is. De milyen hibahatár számít jónak? A bevett módszerekkel végzett közvéleménykutatások hibahatára plusz-mínusz 3-5% körüli szokott lenni. Ha nagyon titkolják a hibahatárt, az valószínűleg azért van, mert túl magas! A plusz-mínusz (±) jelet pedig olykor bevallottan elfelejtik kitenni...

Ha nem közvéleménykutatásról van szó, arra érdemes gondolni, mekkora bizonyosságra van szükség a konkrét esetben. Stanisław Lem klasszikus sci-fi elbeszélése, A teszt épp erre mutat rá:

De a pálya kis híján érinti a Holdat. Nem tudni, hogy átsiklik-e az űrhajó a Hold fölött, vagy belefúródik. A trajektométer hibahatára hét-nyolc kilométer – lehet a görbe alsó pontja három kilométerrel a sziklák fölött, vagy ugyanannyival alattuk.

Ha Pirx pilóta jó ezer kilométer távolságban repül a Holdtól, nem nagyon számít neki, hogy 1003 vagy 1004 kilométer messze van az űrhajója az égitesttől, tehát ez a hibahatár teljesen megfelelő számára. De ha épp a Hold közvetlen közelében jár az űrhajójával, mindjárt élet-halál kérdése a három és négy kilométer közötti különbség! (Ha valakit érdekel, mi történik ezután a kétségbeejtő helyzetbe került Pirx pilótával, az interneten fenn van a novella teljes szövege, a Beleolvasok gombra kell kattintani.)

Csalás és ámítás

A tudományos közleményekben sokféle grafikonra szokás hibasávot rakni. A hibasáv terjedelmét többféle módszerrel is ki lehet számolni, ilyenkor – jobb esetben – a cikk szövegéből kiderül, milyen módszert használtak a kutatók. A napisajtóban ellenben hibasávot szinte sosem látni, még akkor sem, amikor a cikk szövege említi a hibahatárt. Ha olvasóink találkoznak vadon élő hibasávval, küldjék be a képet, hadd örüljünk neki együtt!

Mutatunk egy valódi vizsgálatból származó példát. Ez az ábra egy olyan vizsgálatból származik, amelyben azt hasonlították össze, mennyire jól tudnak tájékozódni különböző szerkezetű weblapokon a fiatalok és az idősek. Egy hierarchikus szerkezetű és egy címkéket használó weblapon kellett előre megadott kérdésekre választ keresni. Az ábrán bal oldalt a hierarchikus, jobb oldalt a címkéket használó weblapon elért eredmények láthatóak. A piros színű oszlopok az idősek, a kékek a fiatalok teljesítményét mutatják. A függőleges pöckök jelölik a hibasávokat – a szakasz két végpontja (a pöckök feje) mutatja a sáv egyik és másik végét a függőleges tengelyen.

A bal szélső oszlop esetében körülbelül -0,6-tól -0,4-ig terjed a hibasáv.
(Forrás: Pak R, Price MM, Thatcher J / CC BY 2.0)

A bal oldalon, azaz a hierarchikus weblap esetében nagy különbség van a fiatalok és az idősek között. (Kicsit szokatlan módon az Y tengelyen a nagyobb értékek rosszabb teljesítményt jelölnek, de erre az Y tengely
angol nyelvű felirata felhívja a figyelmet. Tehát a fiatalok teljesítménye
jobb.) A hibasávok között nincs átfedés, látványosan elkülönülnek
egymástól – a mért különbség valószínűleg valós.

Viszont a címkéket használó weblap esetében a fiatalok és az idősek között ugyan mértek egy kis különbséget, de a hibasávok nagy mértékben átfedik egymást, így lehet, hogy valójában nincs is a két csoport között eltérés. (A cikkben részletesen kifejtett statisztikai számítások tényleg azt mutatták, hogy a címkés weblap használata során a fiatalok és az idősek között nincsen szignifikáns teljesítménykülönbség.) Láthatjuk, hogy még egy egyszerű oszlopdiagramnál is hasznos információt nyújt a hibasávok feltüntetése!

Miért lehet baj, ha nincs a grafikonokon hibasáv? Azért, mert a lelkes olvasó azt gondolhatja, az eredmény jobb, mint valójában. Ha az ábrán nem találunk a grafikonnal való csalásokról szóló cikkünkben bemutatott durva félrevezetéseket, örömmel állapíthatjuk meg, hogy minden szép és jó. De a valóságban lehet, hogy az eredmények körüli bizonytalanság olyan nagy, hogy az ábrából igazából semmilyen következtetést nem lehetne levonni... Ha a hibasávok szerepelnének a képen, akkor ezt rögtön lehetne látni, míg a számadatok fölött reggelizés közben elsiklik az ember szeme.

A leggyakoribb statisztikai csalás, amikor a hibahatáron belüli eltéréseknek jelentést adnak. Ha egy párt támogatottsága 1%-kal nőtt, de a mérés hibahatára 3% (mint egy tipikus közvéleménykutatásnál), akkor az is lehet, hogy a párt támogatottsága egyáltalán nem változott. Mégis láttunk már törtszázalékos növekedést is valós különbségként feltüntetve. Ugyanezen okból nagyon nehéz előre megmondani, kik jutnak be a parlamentbe! Ha a mérés szerint egy pártra 4% szavazna, akkor a közvéleménykutatások megszokott hibahatára mellett lehet, hogy a párt pont az 5%-os parlamenti küszöb alá kerül, de az is, hogy fölé.

További olvasnivalók

Hibasávok típusai, hibasáv felhelyezése táblázatkezelőkkel

Muszáj volt ráraknod a hibasávokat? (karikatúra)

Nézettségmérések és a hibahatár (itt még ritkábban kerül elő, mint a politikai cikkekben...)

Két szakmaibb cikk haladóknak: Error bars in experimental biology / The link between error bars and statistical significance